pq-Formel anwenden + 6 Beispiel-Aufgaben

Im folgenden werden wir die pq-Formel ein wenig näher betrachten. Dazu werden wir insbesondere Wert auf ihre korrekte Anwendung legen. Die pq-Formel ist wie die auch als Mitternachtsformel bezeichnete abc-Formel ein Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen. Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form:

ax^2+bx+c=0

Die Koeffizienten a, b und c stehen für irgendwelche Zahlen, wobei a \neq 0 ist. Andernfalls würden wir keine quadratische Gleichung vorliegen haben und die Anwendung der pq-Formel wäre überflüssig.

Um die pq-Formel überhaupt benutzen zu können, müssen wir die Gleichung erst einmal auf ihre sogenannte Normalform bringen. Ganz allgemein heißt das, dass der Vorfaktor des x^2 gleich 1 sein muss.
x^2+px+q=0

Weiter unten werden Beispiele vorgerechnet, in denen gezeigt wird, wie man die Normalform erzeugen kann.

Die pq-Formel lautet wie folgt:

 x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}

Den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen nennt man Diskriminante (Abkürzung: D). Anhand der Diskriminante kann man erkennen, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat.

D = \left(\frac{p}{2}\right)^2-q

 \\ \\ D > 0 \rightarrow \text{zwei Loesungen} \\ \\ D = 0 \rightarrow \text{eine Loesungen} \\ \\ D < 0 \rightarrow \text{keine Loesungen}[/latex] <hr style="margin:15px 0 20px 0;" /> <strong>Beispiel 1:</strong> [latex] 3x^2+21x = 24

Die Gleichung muss zunächst so umgeformt werden, dass sie in der Normalform da steht, danach kann die pq-Formel angewandt werden:

 3x^2+21x = 24 | -24 \\ \\ 3x^2+21x-24 =0 | :3 \text{ um die Normalform zu erhalten} \\ \\ x^2+7x-8 =0 | \text{ jetzt pq-Formel mit }p=7, q=-1 \\ \\ x_{1,2} =\frac{-7}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^2-(-8)} \\ \\ =-3,5\pm\sqrt{12,25+8} \\ \\ =-3,5\pm\sqrt{20,25} \\ \\ =-3,5\pm 4,5

Hier ist D > 0, also gibt es zwei Lösungen, nämlich x_1=1, x_2=-8 , und somit ist die Lösungsmenge  L=\{-8,1\}.


Beispiel 2:

 2x^2 + 4x + 4 = x + 2 + x^2

Hier muss wieder zuerst so umgeordnet werden, dass auf einer Seite die 0 steht.

 2x^2 + 4x + 4 = x + 2 + x^2 | -x^2 -x -2 \\ \\ x^2 + 3x +2 =0 | \text{ schon in Normalform}

Jetzt kann die pq-Formel angewandt werden mit p=3, q=2.

 x_{1,2} =\frac{-3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-2} \\ \\ =-1,5\pm\sqrt{\frac{9}{4}-2} \\ \\ =-1,5\pm\sqrt{\frac{1}{4}} \\ \\ =-1,5\pm 0,5 \\ \\

Hier gibt es zwei Lösungen, nämlich x_1=-1, x_2=-2 , und somit ist die Lösungsmenge  L=\{-1,-2\}.


Beispiel 3:

 2x^2 -x - 4 = 20 + x

Hier muss wieder zuerst so umgeordnet werden, dass auf einer Seite die 0 steht.
 2x^2 - x - 4 = 20 + x | -20 -x \\ \\ 2x^2 - 2x - 24 =0 | :2 \text{ fuer die Normalform} \\ \\ x^2 - x - 12 =0 | \text{ jetzt pq-Formel mit p=-3, q=-12} \\ \\

 x_{1,2} =-\frac{-1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2-(-12)} \\ \\ = 0,5\pm\sqrt{\frac{1}{4}+12} \\ \\ = 0,5\pm\sqrt{12,25} \\ \\ = 0,5\pm 3,5 \\ \\

Hier gibt es zwei Lösungen, nämlich x_1=-3, x_2=4 , und somit ist die Lösungsmenge  L=\{-3,4\}.


Beispiel 4:

x^2+2x=-1

Zuerst wird die Gleichung so umgeformt, dass auf einer Seite die 0 steht.

 x^2+2x = -1 | +1 \\ \\ x^2+2x+1 = 0

Günstigerweise liegt jetzt die Gleichung schon in Normalform vor, denn vor dem x^2 steht eine 1. Zur Erinnerung: x^2 = 1\cdot x^2.
Wir können also die pq-Formel anwenden. Vor dem x steht eine 2, dahinter steht die Zahl 1, also kann man die pq-Formel benutzen mit p=2, q=1:
 \\ \\ x_{1,2 }= \frac{-2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-1} \\ \\ = -1 \pm \sqrt{1-1} \\ \\ = -1

Da die Diskriminante 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösung, nämlich x=-1. Die Lösungmenge der quadratischen Gleichung ist also L=\{-1\}.


Beispiel 5:

 3x^2 +x + 8 = 4 - 3x -x^2

Hier muss wieder zuerst so umgeordnet werden, dass auf einer Seite die 0 steht.
 3x^2 + x + 8 = 4 - 3x -x^2 | -4 +3x +x^2 \\ \\ \\ \\ 4x^2 +4x + 4 = 0 | :4 \text{ fuer die Normalform} \\ \\ \\ \\ x^2 + x + 1 =0 | \text{ jetzt pq-Formel mit p=1, q=1} \\ \\ \\ \\

 x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-1} \\ \\ \\ \\ = 0,5 \pm \sqrt{\frac{1}{4}-1} \\ \\ \\ \\ = 0,5 \pm \sqrt{-\frac{3}{4}} \\ \\
Die Diskriminante ist D = -\frac{3}{4} < 0[/latex]. Somit hat die quadratische Gleichung keine Lösung, also ist [latex]L=\{\}[/latex]. <hr style="margin:15px 0 20px 0;" /> <strong>Beispiel 6:</strong> Zu guter letzt führe ich noch eine typische Aufgabenstellung vor, die mit Hilfe der Diskriminante berechnet wird: Aufgabenstellung: Für welche Zahl q besitzt folgende Gleichung keine Lösung? [latex]2x^2+12x=-q

Vorgehensweise: Wie oben erwähnt, kann man die Lösungen einer Gleichung an der Diskriminante ablesen. Keine Lösung gibt es genau dann, wenn gilt:

D < 0[/latex] Wir führen also unsere Rechnungen zunächst normal durch. Dabei behandeln wir [latex]q[/latex] wie eine normale Zahl. [latex] 2x^2+12x = -q | +q \\ \\ 2x^2+12x+q = 0 | :2 \text{ fuer die Normalform} \\ \\ x^2+6x+\frac{q}{2} = 0 | \text{pq-Formel} \\ \\ x_{1,2} = \frac{-6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2-\frac{q}{2}} = -3 \pm \sqrt{9-\frac{q}{2}} [/latex] Nun muss der Ausdruck unter der Wurzel kleiner als Null sein. Wir betrachten also für die weitere Rechnung nur diesen Teil und setzen die Voraussetzung [latex]D < 0[/latex] ein. [latex] D = 9-\frac{q}{2} < 0 | +\frac{q}{2} \\ \\ 9 < \frac{q}{2} | \cdot 2 \\ \\ 18 < q [/latex] Ergebnis: Für [latex]q> 18 hat die quadratische Gleichung keine Lösung.


Anmerkung:

In diesem Text wurden Zusätze beigefügt, die so nicht von einer Lehrkraft verlangt werden müssen. Oft ist es nicht erforderlich, eine Bemerkung hinsichtlich der Diskriminante zu hinterlassen, so wie es hier getan wurde. Dies diente lediglich, um diesem ungewöhnlichem Begriff mehr Inhalt zu geben. Des weiteren ist oben der Begriff abc-Formel gefallen. Diese Lösungsformel ist nicht identisch mit der hier aufgeführten pq-Formel. Die abc-Formel ist vielmehr eine Verallgemeinerung der pq-Formel und dient ebenfalls zum Lösen von quadratischen Gleichungen. In ihr tauchen die 3 Koeffezenten a,b und c auf, sie ist also ein bisschen komplizierter, kann aber direkt auf eine quadratische Gleichung angewandt werden ohne den bei der pq-Formel notwendigen Normalisierungs-Schritt.

Auf Begriffe wie doppelte Nullstelle ist in diesem Text absichtlich nicht eingegangen worden, da er für die pq-Formel als solche keine Rolle spielt. Ebenso wurden komplexe Zahlen außer acht gelassen, weil diese in der Oberstufe des Gymnasiums oder im Studium eingeführt werden.

Das Verständnis der Umformungen von Gleichungen ist größtenteils vorausgesetzt.


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